divisibilidad por 12

Doce
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12
Cardinal Doce
Ordinal Duodécimo, -a
Factorización 12 = 2² × 3
Numeración romana XII
Sistema binario 1100
Sistema hexadecimal C
Propiedades matemáticas
φ(12) = 4 τ(12) = 6 σ(12) = 28
π(12) = 5 μ(12) = 0 M(12) = -2
El doce (12) es el número natural que sigue al once y precede al trece.

Representación de 12:

Numeración romana: XII
Numeración china: 十二
Propiedades matemáticas:

El 12 es un número compuesto, que tiene los siguientes factores propios: 1, 2, 3, 4 y 6. Como la suma de sus factores es 16 > 12, se trata de un número abundante.
El poliedro de 12 caras recibe el nombre de dodecaedro. El dodecaedro regular tiene las caras en forma de pentágonos regulares, y dentro de él se puede inscribir un icosaedro regular.
Características:

Es el número atómico del magnesio (Mg)

[editar] Simbología y curiosidades
En muchos calendarios, un año tiene 12 meses.
El número 12 es uno de los principales números utilizados en la historia de la humanidad. Su popularidad se debe a que en un año la Luna gira unas doce veces alrededor de la Tierra, hecho que ya observaron y conocieron los pueblos primitivos. De ahí que los antiguos astrónomos establecieran más adelante los doce signos del zodíaco, y que todavía hoy siga siendo habitual comprar productos por docenas.
El número 12 se repite en los siguientes temas: 12 Apóstoles, 12 frutos del Espíritu Santo, 12 tribus de Israel y 12 estrellas que las representan, 12 horas diurnas y 12 nocturnas, 12 meses del año, 12 signos del Zodíaco, perfecta división del cielo, 12 puertas de la Jerusalén Celeste, 12 frutos del Árbol de la Vida.
Es el número solar por excelencia y una constante en la cultura mediterránea. Símbolo del orden cósmico.
Divisibilidad 1

Divisibilidad

Teniendo en cuenta la dificultad que observaba en los chicos para simplificar fracciones, calcular m.c.m y m.c.d., factorear, etc., elaboré una tabla con las reglas de divisibilidad, la cual entrego a mis alumnos como material de consulta permanente que guardan en la sección "FICHAJE" de su carpeta, y he obtenido muy buenos resultados. He comprobado que, poco a poco, los estudiantes van internalizando los criterios de divisibilidad.


Adjunto la tabla de ejercicios y problemas con diferentes grados de dificultad, con el objeto que los alumnos comprueben la utilidad de dicha tabla.


Sabemos que los chicos necesitan verificar a través de su propia experiencia, porque ésto realmente les simplifica la tarea; de lo contrario, el material entregado dormirá en el fondo de la mochila (en el mejor de los casos).



Divisible por: Criterio Ejemplo
2 Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es múltiplo de 2 (número par)
3 Un número es divisible por 3 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3
4 Un número es divisible por 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4
5 Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es múltiplo de 5
(0 ó 5)
6 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3

7 Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de 7
8 Un número es divisible por 8 cuando el número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8 5888
1016

9 Un número es divisible por 9 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9
10 Un número es divisible por 10 si la cifra de las unidades es cero 120
1540
250
1000
500

11 Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de los lugares impares, en el sentido posible, es múltiplo de 11

12 Un número es divisible por 12 cuando es divisible por 3 y por 4

25 Un número es divisible por 25 cuando el número formado por las últimas dos cifras es múltiplo de 25

Un número es divisible por 25 si la cifra de las unidades más diez veces la cifra de las decenas es múltiplo de 25


100 Un número es divisible por 100 si las últimas cifras son dos ceros 2700
1700
25400




Ejercicios y problemas. ¡A resolver!

1 - ¿Con qué cifra completarías para que el número sea múltiplo de a?

a) 122 a=4
b) 6495 a=3
c) 525 a=5
d) 874 a=11
e) 504 a=8
f) 756 a=9
g) 624 a=11
h) 751 a=2
i) 852 a=6
j) 109 a=7
k) 85 a=25

2 - ¿Qué cifra hay que poner para que el número 367


a) sea múltiplo de 3 y de 5?
b) sea múltiplo de 2 y de 5?

3 - El conjunto D está formado por todos los múltiplos de dos comprendidos entre 1 y 1000; el conjunto T está formado por todos los múltiplos de tres comprendidos entre 1 y 1000. ¿Cuántos elementos tienen los conjuntos D, T y D I T? (Ñandú 1° nivel, 5° Grado, 2°año 2° Ciclo EGB)

4 - El número N tiene este aspecto: N=3a42b, con a y b dígitos. ¿De cuántas maneras puedo elegir a y b para que N sea divisible por 6? (Ñandú 2° nivel, 6° Grado, 3°año 2° Ciclo EGB)

5 - ¿Cuántos números naturales de 4 cifras terminan en 36 y son múltiplos de 36? (O.M.A. 1° nivel, 1° y 2° año, 8° y 9° año 3° Ciclo EGB)

6 - Reemplazando a y b por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65a1b que son múltiplos de doce. (O.M.A. 1° nivel, 1° y 2° año, 8° y 9° año 3° Ciclo EGB)


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Respuestas:

1-
a) Respuestas posibles: 1212; 1232; 1272; 1292
b) Respuestas posibles: 64095; 64395; 64695; 64995
c) Respuestas posibles: 5025; 5125; 5225; 5325; 5425; 5525; 5625; 5725; 5825; 5925
d) 8745
e) Respuestas posibles: 5040; 5048
f) Respuestas posibles: 750
g) 6424
h) Respuestas posibles: 7510; 7512; 7514; 7516; 7518
i) Respuestas posibles: 8520; 8526
j) Respuestas posibles: 1029; 1099

Comprobación:


k) Respuestas posibles: 825; 875

2 -

a) 3675
b) 3670

3 -

Como los múltiplos de dos son los números pares, entre 1 y 1000, hay 500 pares y 500 impares; por lo tanto el conjunto D tiene 500 elementos.


Como 3 es el menor número múltiplo de tres entre 1 y 1000, y si dividimos 1000 por 3, obtenemos un cociente igual a 333, con resto 1, por lo tanto 333 es el mayor entero por el que podemos multiplicar a 3 para obtener un número no mayor que 1000.


Los múltiplos de tres que están entre 1 y 1000 se escriben como 3 por un número entero comprendido entre 1 y 333; hay 333 múltiplos de tres entre 1 y 1000.


El conjunto T tiene entonces 333 elementos.


El conjunto D I T está formado por los múltiplos de dos y de tres, por lo tanto por los múltiplos de seis (según criterio de divisibilidad).


Como 6 es el menor múltiplo de 6 entre 1 y 1000 y al dividir 1000 por 6 obtenemos un cociente igual a 166, con un resto igual a 4.


Siguiendo el razonamiento que hicimos para calcular la cantidad de elementos del conjunto T, podemos decir que los elementos del conjunto D I T son 166.

4 -

N = 3a42b; con a y b dígitos

N es divisible por 6 por lo tanto es divisible por 2 y por 3. Como es divisible por 2, b puede tomar solamente los valores 0, 2, 4, 6 u 8. Como es divisible por 3, 3+a+4+2+b tiene que ser múltiplo de 3, o sea 9+a+b tiene que ser múltiplo de 3, con lo cual a+b tiene que ser múltiplo de 3; a+b puede tomar los valores 0, 3, 6, 9, 12, 15 o 18. (recordar que a y b son dígitos).

Analicemos las distintas posibilidades:

Si a+b=0 entonces a=b=0 (1)

Si a+b=3, como b es par: b=0 y a=3
b=2 y a=1 (2)

Si a+b=6, como b es par: b=0 y a=6
b=2 y a=4
b=4 y a=2
b=6 y a=0 (4)

Si a+b=9, como b es par: b=0 y a=9
b=2 y a=7
b=4 y a=5
b=6 y a=3
b=8 y a=1 (5)

Si a+b=12, como b es par: b=4 y a=8
b=6 y a=6
b=8 y a=4 (3)

Si a+b=15, como b es par: b=6 y a=9
b=8 y a=7 (2)

Si a+b=18, como b es par: no hay valores posibles para a y b, que son dígitos. (0)
Para cada posibilidad se escribió entre paréntesis la cantidad de opciones, por lo tanto hay 17 maneras distintas de elegir a y b para que N resulte divisible por 6

5 -

Se busca encontrar los números xy36, x 0, múltiplos de 36.

Un número es múltiplo de 36 si lo es de 4 y 9, pero como xy36 termina en 36, cumple con el criterio de divisibilidad por 4, por lo tanto sólo debemos encontrar las condiciones para que xy36 sea múltiplo de 9, o sea que x + y + 3 + 6= 9 , o simplemente x + y sea múltiplo de 9.

Se presentan sólo dos posibilidades: (no olvidemos que x e y son dígitos)
x + y = 9 ó x + y = 18

Si x + y = 9, para cada valor posible de x hay un único valor de y (y = 9-x); x = 1,2,...,9; por lo tanto son 9 los números.

Si x + y = 18, sólo existe una posibilidad x = y = 9.

En total hay 10 números xy36, x 0, que son múltiplos de 36.

Nota: este problema muchos alumnos lo resuelven haciendo la lista de todos los números de cuatro cifras terminados en 36 y tachan los que no cumplen con el criterio de divisibilidad por 9, cuentan los que no tacharon y obtienen correctamente el resultado, en ese caso además de conocer cuántos números son, averiguan cuáles son. Puede ser una variante de este problema plantear ambas preguntas.

6-

Leemos en la tabla el criterio de divisibilidad por 12: nos indica que un número es divisible por 12 cuando es divisible por 3 y por 4.

Divisibilidad por 3: 6 + 5 + a + 1 + b debe ser múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: 1b debe ser múltiplo de 4. Por lo tanto los únicos valores posibles de b son 2 y 6.


Analicemos ambas posibilidades:

i) b = 2: el número es 65a12, para que sea múltiplo de 3, 6 + 5 + a + 1 + 2 = 14 + a debe ser múltiplo de 3, 14+a es múltiplo de 3 si a = 1, 4 ó 7.

ii) b = 6: el número es 65a16, para que sea múltiplo de 3, 6 + 5 + a + 1 + 6 = 18 + a debe ser múltiplo de 3, 18+a es múltiplo de 3 si a = 0, 3, 6 ó 9.

Los números buscados son 12 y son los siguientes:

65112, 65412, 65712, 65016, 65316, 65616, 65916


Divisibilidad
Segunda Parte

Podemos trabajar aún mucho más con nuestros alumnos este tema de la divisibilidad numérica.
Es conveniente que ellos hayan adquiridos los siguientes conceptos:
(Utilizo las definiciones para números naturales, pues esta propuesta puede empezar a trabajarse en 2° ciclo del E.G.B).

Números primos: Un número es primo si sólo tiene dos divisores, el propio número y el 1.

Números compuestos: Todo número que no es primo.

¡ATENCIÓN! EL 1 NO ES PRIMO NI COMPUESTO, ES ESPECIAL.

Divisor común mayor:
El divisor común mayor de dos o más números, es el número mayor que los divide exactamente, o sea el resto de la división es cero.
Se lo llama con las iniciales, así: D.C.M.

Números coprimos o primos entre sí:
Dos números son coprimos o primos entre sí cuando sólo tienen como divisor común mayor el 1.


Preguntémosle a nuestros alumnos si es posible confeccionar una regla de divisibilidad para cualquier número.

En la tabla suministrada en la entrega anterior aparece el criterio de divisibilidad para el número 12, puede resultar interesante preguntarle a los chicos por que dice: "Un número es divisible por 12 cuando es divisible por 3 y por 4". Y por que no dice que un número es divisible por 12 cuando es divisible por 2 por 6.
Analicen con ellos algunos múltiplos de 2 y de 6, que no lo son de 12,
Por ejemplo 18, 36, etc.
Seguramente los alumnos se preguntarán por que se eligió ese par de número y no otro.
Si los alumnos no encuentran solos la respuesta, podemos darles alguna pista recordando el concepto de coprimos.
Luego trabajar todos juntos la siguiente conclusión:

"Para encontrar la regla de divisibilidad de un número debes buscar las pareja de divisores primos entre sí (coprimos), si los tiene y de ellas elegir la formada por los números más grandes".




Es interesante trabajar con ellos ejercicios como los que continúan:

1.
- No existe regla de divisibilidad del número 16. Observa:
Divisores de 16: {1,2,4,8,16}
No tiene divisores primos entre sí.
- Si, existe regla de divisibilidad para 36. Observa:
Divisores de 36; {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
Parejas de factores primos entre sí: 2 y 9; 3 y 4; 4 y 9.
4 y 9 es la pareja elegida por que esta formada por los números mayores, por lo tanto un número es divisible por 36 si es divisible por 4 y por 9, a la vez.

- ¿Puedes escribir la regla de divisibilidad del número 56?, ¿y del número 30?

2.
Completa la siguiente tabla, siempre que sea posible:

Divisible por: Criterio Ejemplo
21
32
35
41



Estas actividades en las cuales los chicos construyen las reglas, resultan muy enriquecedoras porque los chicos logran construir por si mismos las reglas de divisibilidad de cualquier número, encontrando así, otras que no son las más conocidas.
Les da la posibilidad de recurrir menos a la memoria y más al razonamiento.
Espero encuentren en esta entrega elementos para aplicar en sus clases y nos transmitan sus experiencias para un enriquecimiento mutuo.